Гравитация
В 1609-1619 И.Кеплер представил три закона, которые описывали движение планет вокруг солнца. Углубленное понимание законов Кеплера пришло с открытием закона всемирного тяготения в 1687 году И.Ньютоном.
Но уже смещение орбиты Меркурия в сто лет на 43" больше, чем ожидалось, было первым испытанием закона всемирного тяготения. К счастью появилась в 1916 году общая теория относительности Эйнштейна, которая позволила объяснить этот феномен. Но в 1978 году появилась другая проблема, которая до сих пор не решена. В.Рубин и К.Форд напечатали результаты их исследования: против ожидания скорость звезд в спиральных галактиках не падает к внешнему краю: rotation curve.
Чтобы звезда сохраняла свою круговую орбиту, необходимо равновесие между центробежной и гравитатионной силами
Отсюда
Если V = const, тогда должно было бы M/R = const . Но согласно оптическим наблюдениям плотность звезд падает экспотенциально с расстоянием. Т.о. кривая скорости должна быть спадающей.
Для объяснения феномена в первую очередь предполагается существование так называемой несветящейся, темной материи, которая должна составлять примерно 90% всей материи во вселенной. Но астрономам пока что не удается ее найти. Есть еще Modified Newtonian Dynamics, коротко MOND-Теория, но она входит в конфликт с принципом эквивалентности общей теории относительности.
Но возможно, что проблема намного проще, чем ее делают ;-)
Теоретики охотно работают со сферическими массами, потому что те имеют два удобных свойства. Если расчитать напряженность гравитационного поля для сферической поверхности, то окажеться, что внутри ее напряженность гравитационного поля равна нулю, а с наружи ведет себя так, как будто вся масса сферической скорлупы была бы сосредоточенна в ее центре. Дальше, массивные шары представляются как вставленные в друг друга сферические поверхности и на этой основе производиться расчет: напряженность внутренних скорлуп складывается, а внещние просто игнорируються. По тому же принципу расчитываеться напряженность гравитационного поля и внутри галактик.
С другой стороны галактики являются очевидно более сложными структурами, чем однородные сфероиды. Например фотография спиральной галаксики M109 наглядно показывает, что лучи спирали представляют из себя обособленные системы - кластеры.
Это можно было бы тем объяснить, что локальная сила притяжения FL внутри лучей спирали представляет конкуренцию глобальной силе притяжения FG центра галактики. Ошибка, которая обычно допускается, заключается в том, что пробная масса рассматривается не связанной с ближайщими звездами, т.е. как бы движуйся в пустом пространстве. Но давайте оценим соотношение FL/FG для области нахождения нашей звезды - Солнца. Для простоты сделаем это для нижней границы, т.е. расмотрим только связь с одной ближайщей звездой, оприраясь на средние удаление RL и массу m. Все равно получить точную величину трудно: утвержденное расстояние Солнца от центра Млечного Пути 8500pc, новые же исследование указывают на другое значение 8000pc (pc - парсек, примерно 3.26 световых года)
m = 1
M = 1011 -
Масса части
галактики,
которая
находится
внутри
солнечной
орбиты
RL = 2.5pc
RG = 8000pc => FL/FG ~ 0.0027
RG = 8500pc => FL/FG ~ 0.2
Как видно оценка получается весьма грубая, что вообщем-то типично для «звездоведения», что всегда затруняет проверку той или иной гипотезы, но в любом случае результат отличен от нуля. Более того при приближении к центру соотношение должно измениться в пользу локальной силы гравитации, так как M и RL будут уменьшаться. Поэтому рассмотрим этот феномен подробнее.
Для начала исследуем, что произойдет, если два тела 1 и 2 с одинаковой массой m будут на больщую массу M падать.
Если не учитывать взаимное притяжение двух маленьких масс, т.е. оно пренебрежительно мало по сравнению с притяжением большой массы, то их ускорение бедет равно велечине напряженности гравитационного поля
В случае, если мы учтем это взаимодействие, то их ускорение будет уже не равно напряженности гравитационного поля
Говорят о потоке импульса, направленного от тела 1 к телу 2. Проще, тело 1 притягивает тело 2 и усиливает тем самым его ускорение в сторону большой массы, наоборот, тело 2 своим притяжением тормозит тело 1.
Само собой разумеется, что рукава галактик состоят не только из двух звезд, поэтому я прибег к программной симуляции. В качестве модели я взял правда прямую цепочку из точечных масс с постоянным расстоянием между массами, но с изменяющейся массой по правилу mi ~ e-ri/r0 с тем же соотношением rmax/r0 ~ 4, что и в нашей галактики. Симуляция показала следующие кривые для напряженности гравитационного поля (пунктирная линия) ускорения и им соответстующие скорости
в начале кривой ускорение должно быть заметно меньше напряженности гравитационного поля. Соответственно требуется меньшая центробежная сила и круговая скорость, чтобы удерживать систему в равновесии. Междупрочим для расстояния, примерно соответсвующего 8000 - 8500pc, действует (g-a)/g ~ 0.03, т.е. значение входит «точно» ;) в выше найденные границы. Еще один пункт говорит в пользу идеи. В начале кривой может быть достаточно сильное ослабление действия напряженности гравитационного поля центральной массы. И на самом деле в кривой скорости Млечного Пути сразу после стремительного роста наблюдается в районе от 1kpc до 4kpc впадина
В сущности алгоритм является не совсем корректным. А именно не только массы должны изменяться, но и расстояние между ними. Кроме того кластеры в галактиках являются не только прямыми - балки - но спиральными - рукава. Поэтому поток импульса будет течь вдоль лучей спирали и результирующая сила будет направлена в сторону от центра галактики.
Другими словами, нужны люди, которые бы хорошо разбирались в астрономии, чтобы можно было бы детальный и полный алгоритм составить. Но даже моя простенькая программка (справа) указывает на существенную роль локального взаимодействия. ;-)
Теперь отвлекемся от программной симуляции и продолжим наш анализ с помощью математики.
В основе своей закон гравитации Ньютона работает с точечными массами. Если имеется объемное тело, то его делят на множество мелких частей, каждую из который можно рассматривать как точку, исходя из расстояния Ri и массы mi вычисляют для каждой части силу притяжения Fi и складывают векториально эти силы.
Особое значение может иметь нахождение центра тяжести тела. Однако используемая для этого формула выведена из закона рычага, поэтому действительна только для гомогенного поля и позволяет в сущьности находить, скажем так, центр инерции, так как в качестве коэффициента пропорциональности используется масса.
Хочем мы на самом деле найти центр тяжести, тогда мы должны как образец использовать формулу закона гравитации, например так
В общем случае центр тяжести и центр инерции могут не находиться в одном месте. Для наглядности найдем центры инерции и тяжести для ватянутой массы, как указано на следующем рисунке, с ß - линейной плотностью.
Центр инерции
находится в центре отрезка, в чем мы собственно и не сомневались. Какой же результат принесет нам формула для центра тяжести?
Путем подстановкой чисел приходит опыт, что центр тяжести по отношеннию к центру инерции смещен в сторону внешней массы. Причем смещение не зависит от велечины внешней массы, но от удаления от нее.
Конечно было бы интересно узнать как обстоят дела со сферическими массами. Рассмотроим сферическую поверхность с радиусом r , чей центр находится на расстоянии R от внешней массы M.
Согласно рисунку масса кольца составляет (µ есть поверхностная плотность)
Учитывая, что его центр из-за симметрии должен находиться на его оси, вычисляем
Т.о. центр инерции сферы находиться в ее центре. Найти центер тяжести будет уже посложнее. В первую очередь учтем, что сила имеет симметричные, перпендикулярные составляющие, которые компенсируют друг друга. Поэтому продольная составляющая будет в
меньше. В «сыром» виде формула будет выглядеть так
Здесь мы имеем дело еще с двумя переменными. Используем пару трюков, чтобы перейти к одной переменной. Для расстояния должно быть верным
С помощью дифференцирования получим уравнение замены переменных
А также без дифференцирования
Отсюда
Результат указывает на совпадение центров симметрии, инерции и тяжести для сферической поверхности. Очевидно, что то же самое должно быть верно и для массивных шаров, например, планет и звезд.
Особое значения центра тяжести заключается в том, что в этом месте напряженность гравитационного поля ускорение должны быть равны, так как движение тела как целого можно по определению описать движением его центра тяжести. Поэтому в других частях тела возникает эластичное напряжение.
Кстати этот феномен весьма ивестен и используется для описания приливов и отливов. Под действием притяжения Луны Земля как твердое тело не настолько сильно расширяерся как текучая вода на ее поверхности. В результате возникает волны, которая следуют движению Луны.
Если с твердым телом еще более-менее ясно, то не совсем понятно как будет вести себя система без химической связи между ее частями, т.е. такие явления как балки и рукава галактик.
Единственная аналогия химической связи, которая мне приходит в голову, является локальная сила притяжения. Т.о. метод нахождения уравнения движения для распределенных в пространстве систем может выглядеть следующим образом:
Правда таким образом мы получим только моментальные кривые вращения, потому что система будет закручиваться вокруг центральной массы. Однозначно это будет приводить к растягиванию системы, соответственно растояние между звездами будет увеличиваться, а локальная сила притяжения уменьшаться. Этот эффект позволяет объяснить, почему лучи спиральных галактик не так сильно закручены как ожидалось: вначале спиральные галактики имели только возврастающик кривые вращения, следовательно были только слегка закручены; по мере растягивания уменьшилось влияние локольной силы притяжения и спирали только сейчас начали по-настоящему закручиваться, поэтому как промежуточный вариант мы имеем прямые кривые вращения, ну а в будущем следует ожидать Кепплеровские, спадающие кривые.
Но как я уже заметил детальный анализ для меня труден, потому как я отношусь к людям, которые ни разу не видели ночное небо через телескоп, не говоря уже о полных знаниях астрономии :-)
Перейдем теперь к проблеме двух тел. В начале я писал, что к счастью загадка смещения орбиты Меркурия с помощью общей теории относительности была решена, но не уточнил к чьему счастью;-)
Вышеприведенные размышления должны были привести нас к убеждению, что у вытянутых тел центры тяжести и инерции смещены по отнощению к друг другу. Также при вращении сферические тела расширяются в экваториальной области и теряют тем самым свою центральную симметрию - остается только осевая симметрия, при которой можно опять же предпологать смещение центров тяжести и инерции по отношению друг другу. Поэтому привычное использоване геометрического центра небесных тел (Rinert) для растета их движения ошибочно. Правельная методика была бы, использование в формулах движения Rgrav для описяния гравитационного взаимодействия и Rinert для инерциальных явлений.
К удивлению это знание уже используется для объяснения прецисии оси Земли. Признается, что результирующая сила притяжения Солнца из-за неидеальной сферической формы Земли действует не непосредственно в ее ценре. Но по мере того взгляд теоретикой обращается в сторону Земли, это знание где-то между Землей и Солнцем теряется :-)
Математический расчет для сплюснутого шара представляется мне трудным, но я думаю, что мы не сделаем больщого преступления, если в качестве модели рассмотрим два шара каждый массой M/2, ценры которых смешены по отношению к друг другу на расстояние d в сторону внешней массы.
Оба шара мы можем как точечные массы рассматривать. Еще предположим внешнюю массу m маленькой как по размеру так и по массе. Уже очевидно, что центр инерции будет находиться точно посередине между двумя шарами.
Центр тяжести же лежит на расстоянии
смещенный к внешней массе. Программная симуляция с элиптическими орбитами дает вращение эллипса вперед, что как раз и происходит с орбитой Меркурия.
А иначе оно и быть не может. Закон сохранения энергии для движующегося в гравитационном поле большой массы тела должн выглядеть так:
Потому как всегда верно
Насколько этот эффект может реально вызвать смещение перигелия Меркурия на 43" в столетие трудно оценить, так как внутренняя структура Солнца от нас скрыта (К счастью ОТО?).
Смещением центра тяжести можно объяснить также и другой феномен. В качестве косвенного доказательства существования гравитационных волн рассматривается сокращение периода вращения двойных звезд (пульсаров). С другой стороны, если мы в последней модели учтем, что растягивание масс взаимной силой притажения усиливается, то получим тот же эффект
Правда формула для растяжения не может рассматриваться как строгоя, поэтому программная симуляция имеет скорее качественный характер. Но даже если учитывать только растущее расширение звезд, это должно также привести к сокращению периодов вращения, потому что часть общей энергии будет переходить во внутреннюю энергию звезд. Но так или иначе может оказаться, что эффект имеет на самом деле не экзотичную причину, а всего лишь тот же закон гравитации Ньютона ;-)
Само собой разумеется, что основной из задач исследований в области гравитации является наиболее точное определение гравитационной постоянной. И я бы обозначил еще одно направление. Фактически мы живем в пустом пространстве и сами по себе тоже пустое пространство. Радиус протона (нуклеона) составляет примерно ~ 10-15m и атомарный радиус Бора ~ 10-10m (радиус электрона настолько мал, что не поддается измерению). Вычислим объемы (Vm, V) и получим, что в пространстве вроде как заполненным материей собственно материя занимает только ~ 10-15 часть этого пространства. Поэтому вопрос действительного проникновения гравитационного поля в материю остается еще открытым.
В случае, если материя не пропускает гравитационное поле, должно действовать:
Но даже внутри звезд это усиление должно быть еще мало заметно, правда в белых карликах может оно уже миллионную часть от основной силы составлять. Но другая ситуация могла бы сложиться в нейтронных звездах. Для гравитационного поля там действительно мало места быть (в особенности если нейтроны в связанном состоянии представляют из себя больше квадраты, чем шарики). Тогда усиление могло бы достичь величины сильного взаимодействия (~ 1040). Вот и приходит мысль, не являются ли гравитация и сильное взаимодействие в действительности одной и той же силой ...
